Fibonacci sayıları, İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (asıl adı Leonardo da Pisa) tarafından 13. yüzyılda keşfedilmiştir. Ancak, bu sayı dizisi Fibonacci’den önce Hint matematikçileri tarafından da bilinmekteydi. Fibonacci, bu diziyi Liber Abaci (1202) adlı kitabında tanıttı.
Fibonacci Sayıları Neden Bulundu?
Fibonacci sayıları, Fibonacci’nin kitabında tavşanların üreme modeli üzerine yaptığı bir problem aracılığıyla tanıtılmıştır. Problem şu şekildedir:
Bir çift tavşan, her ay bir çift yavru doğurursa ve her yavru çift iki ay sonra üremeye başlarsa, bir yıl sonra kaç çift tavşan olur?
Bu problemi çözerken Fibonacci şu diziyi oluşturdu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
(Burada her sayı, kendisinden önce gelen iki sayının toplamıdır.)
Bu sayı dizisi zamanla matematikte, doğada, sanatta ve birçok bilim dalında önemli bir yer edinmiştir.
Fibonacci Sayılarının Önemi
- Doğada: Çiçek yapraklarının diziliminde, ağaç dallanmalarında, deniz kabuklarında ve hatta galaksilerin sarmal şekillerinde Fibonacci dizisi görülür.
- Matematikte: Altın oran (1.618…) ile ilişkilidir ve birçok optimizasyon probleminde kullanılır.
- Bilgisayar Biliminde: Algoritmalar, veri yapıları ve kriptografi gibi alanlarda kullanılır.
- Sanatta ve Mimarlıkta: Estetik düzenlemelerde ve altın oran tasarımlarında kullanılır.
Fibonacci sayıları, her sayının kendisinden önce gelen iki sayının toplamı olduğu bir sayı dizisidir. Dizi, 0 ve 1 ile başlar ve şu şekilde devam eder:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Matematiksel olarak Fibonacci dizisi şu formülle tanımlanır:
- F(0)=0F(0) = 0F(0)=0
- F(1)=1F(1) = 1F(1)=1
- F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n) = F(n-1) + F(n-2)F(n)=F(n−1)+F(n−2) (n ≥ 2 için)
Bu dizi, doğada birçok yerde görülür: çiçek yapraklarının diziliminde, sarmal kabuklarda, galaksi kollarında ve hatta borsa analizlerinde. Fibonacci sayıları aynı zamanda altın oran (φ≈1.618\varphi \approx 1.618φ≈1.618) ile de bağlantılıdır; dizideki ardışık iki sayının oranı, büyüdükçe altın orana yaklaşır.
Fibonacci sayı dizisinin birçok ilginç ve önemli özelliği vardır:
1. Altın Oran ile İlişkisi
- Fibonacci dizisinde ardışık iki sayının oranı, dizide ilerledikçe altın oran (φ≈1.618\varphi \approx 1.618φ≈1.618) değerine yaklaşır: limn→∞F(n+1)F(n)=φ\lim_{n \to \infty} \frac{F(n+1)}{F(n)} = \varphin→∞limF(n)F(n+1)=φ
- Bu özellik, doğada ve sanatta estetik oranların oluşmasında önemli bir yere sahiptir.
2. Rekürsif Tanım
- Fibonacci sayıları özyinelemeli (rekürsif) bir şekilde tanımlanabilir: F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n) = F(n-1) + F(n-2)F(n)=F(n−1)+F(n−2)
- Bu yapı, bilgisayar biliminde ve algoritmalarda sıklıkla kullanılır.
3. Toplam Özellikleri
- İlk nnn Fibonacci sayısının toplamı, bir sonraki Fibonacci sayısından 1 eksiktir: F(0)+F(1)+⋯+F(n)=F(n+2)−1F(0) + F(1) + \dots + F(n) = F(n+2) – 1F(0)+F(1)+⋯+F(n)=F(n+2)−1
- Örneğin:
0+1+1+2+3+5+8=200 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 200+1+1+2+3+5+8=20 ve F(8)−1=21−1=20F(8) – 1 = 21 – 1 = 20F(8)−1=21−1=20
4. Her Üçüncü Fibonacci Sayısı 2’ye Bölünebilir
- Fibonacci dizisinde her üçüncü terim 2’ye bölünebilir, her dördüncü terim 3’e bölünebilir, her beşinci terim 5’e bölünebilir vb.
- Örnek: 2, 8, 34 (her üçüncü Fibonacci sayısı)
5. Fibonacci Sayılarının Kareleri
- Fibonacci sayılarını karesini aldığımızda, ilginç bir formül ortaya çıkar:F(n)2=F(n−1)⋅F(n+1)−(−1)nF(n)^2 = F(n-1) \cdot F(n+1) – (-1)^nF(n)2=F(n−1)⋅F(n+1)−(−1)nÖrneğin:
32=(2×5)−(−1)4=10−1=93^2 = (2 \times 5) – (-1)^4 = 10 – 1 = 932=(2×5)−(−1)4=10−1=9 - Ayrıca, ilk nnn Fibonacci sayısının kareleri toplamı şu şekilde hesaplanır:F(0)2+F(1)2+⋯+F(n)2=F(n)⋅F(n+1)F(0)^2 + F(1)^2 + \dots + F(n)^2 = F(n) \cdot F(n+1)F(0)2+F(1)2+⋯+F(n)2=F(n)⋅F(n+1)Örneğin:
02+12+12+22+32=190^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1902+12+12+22+32=19, çünkü 5×8=405 \times 8 = 405×8=40.
6. Fibonacci Sayıları ve Pascal Üçgeni
- Fibonacci sayıları, Pascal üçgeninde belirli bir diyagonal boyunca yer alır.
7. Lucas Sayıları ile İlişkisi
- Lucas sayıları (2,1,3,4,7,11,18,…2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, \dots2,1,3,4,7,11,18,…) Fibonacci dizisine benzer bir mantıkla üretilir.
- Fibonacci ve Lucas sayıları arasında birçok bağlantı bulunmaktadır.
8. Fibonacci Dizisi Doğada ve Sanatta Görülür
- Ayçiçeği tohumlarının spiral dizilimi
- Çam kozalağı yapıları
- Deniz kabuklarının şekilleri
- DNA sarmal yapısı
- Leonardo da Vinci’nin eserlerinde altın oranla bağlantılı kullanımı
Fibonacci dizisi, matematik, doğa, sanat ve mühendislikte birçok alanda önemli bir rol oynamaktadır. 🚀